Narodil sa 20. februára 1949 v Jablunkove. Po Strednej všeobecnovzdelávacej škole (SVŠ) v Jablunkove študoval päť rokov odbor fyzikálna chémia na Vysokej škole chemicko-technologickej (VŠCHT) v Prahe. Po jej ukončení absolvoval vojenskú základnú službu.
V roku 1973 pokračoval v štúdiu v Ústave teoretických základov chemickej techniky Akadémie vied ČSSR, kde po štyroch rokoch získal titul kandidát vied (CSc.).
Od roku 1978 pôsobil v AV ČSSR ako vedecký pracovník. Počas tohto obdobia na rok vycestoval do univerzitu do Hannoveru v NSR. Autorka článku v jednom z českých zdrojov pri predstavovaní Jiřího Drahoša o ňom napísala: „Vedec, ale i manažér.“ A dodala, že podstatnú časť života strávil v laboratóriách.
V roku 1992 sa stal na dva roky zástupcom riaditeľa Ústavu chemických procesov AV ČR, ďalších osem rokov tento ústav riadil. V roku 1994 získal docentúru, v roku 1999 obhájil titul doktor vied (DrSc). V roku 2003 bol v odbore chemického inžinierstva vymenovaný za profesora.
Štyri roky bol zástupcom predsedu AV ČR, a to od roku 2005. V ďalšom období, 2009–2017, pôsobil na čele tejto inštitúcie ako jej predseda.
Bol a naďalej je členom viacerých vedeckých orgánov, inštitúcií aj redakčných rád.
Drahoš dostal 1. marca 2006 čestný doktorát – titul Doctor honoris causa (Dr.h.c.) – od Slovenskej technickej univerzity (STU) v Bratislave. Pre TASR to potvrdila manažérka pre komunikáciu STU Andrea Settey Hajdúchová. Slávnostné laudatio vtedy predniesol prorektor prof. Ing. Vojtech Molnár, DrSc., ktorý okrem iného povedal: „Prof. Ing. Jiří Drahoš, DrSc., je jedným z najvýznamnejších odborníkov v oblasti chemického inžinierstva v Európe… Udelením čestného titulu Dr.h.c. pánovi profesorovi Jiřímu Drahošovi sa dostane ocenenie vedcovi, organizátorovi a učiteľovi, ktorý rozhodujúcim spôsobom ovplyvnil vedecké bádanie v oblasti viacfázových reaktorov, najmä trojfázových reaktorov kvapalina-plyn-tuhá fáza, a to v celosvetovom meradle. Jeho pričinením sa úspešne rozvinulo riešenie tejto problematiky aj na Slovenskej technickej univerzite v Bratislave…“